Albayrak spielte bereits in der Jugend des FSV Frankfurt, ehe er 2003 zu den Offenbacher Kickers wechselte. In der Spielzeit 2008/09 rückte er in den erweiterten Drittligakader des OFC auf, spielte aber meistens in Offenbachs Reserveteam in der Hessenliga. Für die "kleinen Kickers" markierte er in 13 Spielen immerhin acht Tore.
Erstmals in der 3. Liga kam der in Frankfurt geborene Stürmer am 7. Spieltag gegen den FC Carl Zeiss Jena zum Einsatz. Beim 2:1 gegen die Thüringer kam Albayrak in der 77. Minute für Mesic zum Zug und absolvierte insgesamt 32 Drittliga-Partien (3 Tore).
Seit Sommer 2010 stand er beim türkischen Erstligisten Kayserispor unter Vertrag, doch konnte er sich beim aktuellen Tabellenvierten der türkischen Süper Lig nicht entscheidend durchsetzen.
Beim FSV spielt Ugur mit seinem etwas jüngerem Bruder Anil zusammen, der im Reserveteam der Hessen eingesetzt wird.
