Straub arbeitete ab 1968 beim Deutschen Fußball-Bund, war Abteilungsleiter, Marketing-Direktor, Ligasekretär und Vizepräsident beim DFB. Zudem saß er im Aufsichtsrat des WM-Organisationskomitees von 2006. Der Frankfurter war lange an der Schnittstelle des DFB zum Profifußball tätig und nach deren Gründung von 2001 bis 2005 Vorsitzender der Geschäftsführung bei der DFL. Im Juli 2005 übernahm Christian Seifert seine Nachfolge.
2006 wurde Straub zum DFB-Ehrenmitglied ernannt. Im gleichen Jahr verlieh ihm der damalige UEFA-Präsident Lennart Johansson den Ehrenpreis des Präsidenten für seine Aufbauarbeit in den osteuropäischen Fußballverbänden.
DFB und DFL baten die Erst- und Zweitligisten, am Wochenende mit Trauerflor zu spielen. "Sowohl in seiner Funktion als DFB-Direktor als auch später als Vorsitzender der DFL-Geschäftsführung hat er dem deutschen Profifußball über Jahrzehnte wertvolle Dienste erwiesen", sagte Ligapräsident Reinhard Rauball. Insbesondere die Gründung von Ligaverband und DFL sei von Straub gemeinsam mit Gerhard Mayer-Vorfelder, Werner Hackmann und Wolfgang Holzhäuser maßgeblich vorangetrieben worden.